Il ne faudrait pas oublier que l'application du principe d'économie à l'action de la "Nature" (principe de moindre temps et Fermat, principe de moindre effort, principe de moindre action et Lagrange, etc.) a donné lieu au XVIIIème siècle à l'essor de la mécanique "classique", "rationnelle", par opposition aux futures mécaniques "non classiques", relativiste, quantique.


1. Quel est l'esprit de la méthode de Lagrange employée en théorie microéconomique ?

Pour définir le "mouvement mécanique d'un système matériel" en termes finis, Lagrange a fait dépendre l'état du système d'un certain nombre de paramètres indépendants (angles ou distances), à un instant quelconque, qui suffisent pour déterminer la position de toutes ses parties.

Il combine entre eux ces paramètres selon une certaine règle.

Il suppose que, pendant que le phénomène naturel mécanique se déroule, la combinaison ne varie pas.

Il suppose enfin que l'hypothèse doit être vraie, quelles que soient les variations des paramètres.

Cela fournit autant d'équations différentielles qu'il y a de paramètres indépendants.

En intégrant les équations différentielles, c'est-à-dire en résolvant le système, le mouvement du système est déterminé en termes finis (cf. Matisse, 1925, p. 228).

Les équations différentielles en question sont, pour l'économiste, les équations reliant les utilités marginales des biens aux prix donnés de ces derniers, exception faite de,
selon les uns, l'"équation de la contrainte d'équilibre budgétaire" et,
selon les autres, la reconnaissance de l'échange du contenu ou de la composition du patrimoine dans un cadre de droit, i.e. où la propriété, la responsabilité et le contrat sont appliquées et respectées.


A l'origine (fin du XVIIIè siècle), Lagrange a donc concocté une méthode pour parvenir à mettre en équation les "phénomènes naturels mécaniques" ou, si on préfère, les "mouvements mécaniques d'un système matériel".

Et il a sorti du "calcul des variations" disponible à l'époque une méthode de résolution, dont le caractère géométrique sera démontré à la fin du XIXè siècle seulement .

Elle tenait dans une intégration mathématique d'équations particulières (elles seront d'ailleurs dénommées "équations de Lagrange").

En 1925, les équations auxquelles donne lieu la méthode seront encore considérées par beaucoup de "mécaniciens" comme le résultat de synthèse de leur discipline.
Ils partiront d'elles pour traiter tout problème mécanique.
Bien plus, elles leur permettront de décider si un phénomène physique donné peut être ramené à une explication mécanique.


En microéconomie traditionnelle, on ne part pas de l'analogue des "équations dites de Lagrange", mais du résultat à quoi l'intégration de ces équations conduit, à savoir la combinaison de la "fonction d'utilité totale" intertemporelle de l'épargnant/investisseur et de ses contraintes sur la base des multiplicateurs dits de Lagrange, qu'on dénomme "fonction de Lagrange" ou "lagrangien".

Il est en effet à souligner que l'analogue microéconomique des "équations de Lagrange" n'est pas intégré mathématiquement.
Si cela était le cas, on partirait des fonctions d'utilité marginale supposées de l'E/I et non pas de sa fonction d'utilité totale intertemporelle.
Et par différentiation du lagrangien, on les obtient.


Si mathématiquement, il peut y avoir correspondance entre l'intégration de fonctions (calcul d'une primitive) ou la dérivation de fonctions (calcul des dérivées partielles) dès lors qu'intégration ou dérivation sont possibles par hypothèse, économiquement, il en est différemment.

Economiquement, il y a un saut conceptuel car le concept de valeur ou utilité marginale (concept économique) est différent de celui de fonction d'utilité totale (concept économique autre et discutable) .


L'analogie a été soutenue par maints économistes, à commencer par Vilfredo Pareto :

"L'équilibre d'un système économique présente des analogies frappantes avec l'équilibre d'un système mécanique" (Pareto, 1896/7, §592)

Relativement à l'analogie avec la physique qui allait recevoir la dénomination de "mécanique classique" et en se servant de l'algèbre sous-jacente - en évolution alors -, Pareto précisait d'ailleurs il y a un siècle que :

"En mécanique, le principe de d'Alembert nous permet d'étudier, d'une manière complète, l'état dynamique d'un système.
Nous ne faisons encore, en Economie politique, qu'entrevoir un principe analogue" (Pareto, 1896-7, §586, p.9)

"Quand il s'agit d'un système matériel, l'équation (1) n'est autre que celle que donne le principe des mouvements virtuels combiné avec le principe de d'Alembert.
Mais quand il s'agit d'un système économique, nous nous trouvons arrêtés, parce que nous ignorons, non seulement la valeur, mais même la nature des fonctions." (ibid., §586n, p.10)

Pareto précise à l'occasion que :

"Les équations (2) et (3) […] jouent dans l'étude de l'équilibre économique un rôle analogue à celui des équations de Lagrange dans l'étude de l'équilibre mécanique (592')." (Pareto, §59, p.25n)

La démarche de Pareto est partagée par Léon Walras quand ce dernier écrit :

"il y a une économie politique pure qui doit précéder l'économie politique appliquée, et cette économie politique pure est une science tout à fait semblable aux sciences physico-mathématiques.
Cette assertion est neuve et paraîtra singulière" (Walras, 1900, p.29)

"Si l'économie politique pure, ou la théorie de la valeur d'échange et de l'échange, c'est-à-dire la théorie de la richesse sociale considérée en elle-même, est, comme la mécanique, comme l'hydraulique, une science physico-mathématique, elle ne doit pas craindre d'employer la méthode et le langage des mathématiques.
La méthode mathématique n'est pas la méthode expérimentale, c'est la méthode rationnelle." (Ibid.)


2. La condition fondamentale d'application de la méthode de Lagrange.

Depuis Lagrange et le tournant XIXè-XXè siècles, la mécanique a évolué .

Aujourd'hui, il est reconnu qu'il faut définir les phénomènes mécaniques traités par la méthode de Lagrange comme des phénomènes dits "conservatifs" et non pas comme des phénomènes "dissipatifs" .
Et il convient de remarquer que les phénomènes dissipatifs sont de loin les plus nombreux dans la nature .
Et il existe d'autres mécaniques que la mécanique lagrangienne (mécanique relativiste, mécanique quantique, etc.)

Par conséquent, pour pouvoir appliquer convenablement la méthode de Lagrange en économie, il faudrait supposer explicitement qu'il y a une analogie pertinente entre un "phénomène mécanique conservatif" et le choix de l'E/I, i.e. ses "épargnes présente et futures attendues", son vecteur d'épargne.


Mais le microéconomiste ne se soucie pas de ces conditions.

Il affirme que l'E/I prend des décisions en matière de patrimoines présent et futurs attendus qui maximisent sa fonction d'utilité totale sous contraintes (contrainte de patrimoine ou d'équilibre budgétaire généralisée à quoi s'ajoute, depuis Becker, décennie 1960, une contrainte technique de production).


3. Réversibilité ou irréversibilité du choix de l'E/I.

Le recours à la méthode de Lagrange pour faire le calcul algébrique d'épargne optimum repose plus généralement sur une analogie implicite entre sciences économiques et sciences physiques.
Il n'est pas le simple recours à une méthode de calcul pour résoudre un problème économique mis sous forme algébrique.

Le microéconomiste s'interroge-t-il sur la pertinence de l'analogie sciences économiques-sciences physiques ?
Non.

Pourtant, se pose la question du phénomène à quoi est appliqué la méthode de Lagrange :
s'agit-il d'un phénomène conservatif ou d'un phénomène dissipatif ?
L'épargne et ses formes choisies par l'E/I constituent-elles un phénomène conservatif ou un phénomène dissipatif ?

… …
                                     Encadré 1

                Phénomène conservatif ou dissipatif -
                   Système réversible ou irréversible


Aujourd'hui, il est reconnu qu'il faut définir les phénomènes mécaniques que peut traiter la méthode de Lagrange comme des phénomènes "conservatifs" et non pas comme des phénomènes "dissipatifs" .

"Les phénomène irréversibles ne sont pas explicables au moyen des équation de Lagrange" (Matisse, op.cit. pp.174-5).

Et il faut aussi savoir que les phénomènes dissipatifs sont de loin les plus nombreux dans la nature (cf. Bergé et alii, 1984) .

Mais que faire avec les phénomènes dissipatifs ? Appliquer des méthodes de la thermodynamique et non pas de la mécanique.
Selon Prigogine et Stengers :

"La loi mathématique de la propagation de la chaleur fait pour toujours de la physico-chimie une science irréductible à la dynamique classique, une science des processus" (Prigogine et Stengers, 1979, p.286)

sachant que :

"Classical thermodynamics is derived in physics from statistical properties of the most unstructured, stochastic populations of objects in nature." (Smith et Foley, 2002)


Dans ces conditions, les modèles économiques à quoi est appliquée la méthode de Lagrange devraient représenter des phénomènes économiques conservatifs et non pas dissipatifs, distinction que le microéconomiste a laissé de coté jusqu'à présent !

Si on répond que l'épargne et le choix de ses formes disponibles constituent un phénomène dissipatif, il n'est pas rigoureux d'employer la méthode de Lagrange pour expliquer le vecteur d'épargne que choisit l'E/I.
L'employer est une erreur.

Ce point a été souligné récemment par Smith et Foley (cf. encadré ci-dessous).


                             Encadré 2

              Réversibilité et irréversibilité

" […] Since prices are a pure accounting tool, the only measure of the agents'wealths in E are the values, given a price vector, of their initial endowments that specify the economy.
The existence theorem associates with that endowment at least one wealth-preserving equilibrium. […]
If the endowment is already in the Pareto set, prices are uniquely specified but are not measurable because there are no transactions.

If the endowment is not already an equilibrium, so that there will be transactions, the prices and ultimate allocation are in general impossible to specify uniquely.. […]
Walrasian auction, or any other monotonically utility-improving trading algorithm, represents an irreversible transformation in the language of thermodynamics.
The trading history cannot be reversed because agents will generally refuse to accept trades that reduce their utility, and with suitable, standard assumptions, opposite sides of the same trade can never both be utility-improving for an agent in a given initial state.[…]

It is obvious that systems like the foregoing two-agent economy cannot undergo nontrivial transformations that are both reversible and endowment-preserving.
Thermodynamics retains a coherent treatment of equilibrium by breaking systems into components, and allowing flow into or out of the components as necessary, to keep each component arbitrarily close to an equilibrium.

Neoclassical economics has taken the opposite approach, to make use of the irreversible Walrasian auction in the statements of its fundamental theorems, in order to map initial endowments to specific equilibrium allocations.

Transformations along agents' indifference surfaces are, of course, part of the analytic toolbox of standard microeconomic theory [18].[…]

Adopting the analytical assumption that an economy is at or close to equilibrium requires some re-thinking of the interpretive substructure of economic theory.
Much economics implicitly or explicitly adopts the interpretation of Hicks' Value and Capital, in which the economic time is periodized into "weeks".

On Sunday night of each Hicksian week all the agents receive their endowment of commodities, and are thus on Monday morning far from equilibrium.

On Monday a Walrasian market occurs, which reallocates the initial endowments (through what we realize now is an irreversible transformation) to final commodity bundles, and the agents spend the rest of the week actually consuming those bundles.

Within the framework of this parable, the actual measured transaction flows of the economy correspond to the irreversible transformations associated with the achievement of Walrasian equilibrium.

If we want to adopt the point of view of reversible transformations, it makes more sense to interpret the commodity bundles of agents as stocks, such as stocks of consumer durables (the food in the refrigerator, for example).

The availability of well-organized markets permits agents to keep close to stock equilibrium at all times.
Since agents are human beings who get hungry, wear out clothes, and generally deplete stocks, it is necessary for agents to make transactions more or less continuously to keep close to equilibrium (selling their labor-power, paying their rent, buying food, and so forth).

These transactions, which generate national income, are not in this way of thinking the result of irreversible movements from far-from-equilibrium endowments to equilibrium, but the result of agents' constant effort to maintain themselves at equilibrium.
Nothing like Hicks' Sunday night, in which the economy and its agents are suddenly moved to a point far from equilibrium, occurs.
The assumption that agents remain close to equilibrium at all times, and that the economy can as a result be analyzed with the concept of reversible transformations, is a strong abstraction.
For example, an agent who loses her job typically feels that she has been forcibly (irreversibly) moved to a lower utility level.

Real economies experience shocks (wars, revolutions, and depressions, for example) that intuitively seem to be best understood as irreversible transformations.
We would like to emphasize the notion that the method of reversible transformations is best adapted to analyzing ongoing economies operating more or less normally, though the tools of reversible transformations can throw some light on the causes and magnitudes of irreversible transformations. " (Smith et Foley, 2002, site Internet de l'Université de Santa Fe)


4. Remarque : de Lagrange à Poincaré.


Dans «Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planètes» (1784), Pierre Simon de Laplace a utilisé le fruit de recherches antérieures sur l'intégration des systèmes d'équations différentielles et la théorie des séries pour formaliser, par les mathématiques, les mouvements de planètes.

Il s'est intéressé au "problème des trois corps" cerné par
* Leonhard Euler (1707-1783),
* Alexis Clairaut (1713-1765) et
* Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783)
et véritablement pierre d'achoppement d'une théorie correcte du mouvement des planètes.

La solution exprimée par les lois de Johannes Kepler (1571-1631) ne convenait qu'à un système de deux corps s'attirant mutuellement.

C’est le mathématicien français Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) qui était le plus loin à la fin du XVIIIè siècle. Il avait établi un système de 12 équations - ce n’est pas la solution -, mais un pas précieux pour ses successeurs Hamilton.

Mais dans le prolongement de ces travaux, Henri Poincaré a déterminé les conditions d'intégrabilité des systèmes à n-corps et a conclu à leur non-intégrabilité.

Il n'est pas possible de retracer l'évolution d'un système dynamique, c'est-à-dire son passé et son futur, autrement que pour les systèmes à 2 corps.

C’est en 1889 - lors de la remise des travaux d’Henri Poincaré sur le problème à 3 corps et pour lequel il reçoit un prix du roi de Suède - qu'on peut situer la naissance de cette discipline, bien que les bases mathématiques soient plus anciennes.

Dès cette date, Poincaré fut parmi ceux qui formalisèrent le mieux les problématiques posées et leurs enjeux en remarquant que la prédiction n'est pas toujours assurée, même quand les lois de la mécanique classique s'appliquent, comme dans le problème des trois corps en mécanique céleste.
Si l’on ne considère que deux des trois corps, le problème est trivial et les équations héritées de Newton décrivent parfaitement le système.


5. Poincaré et le problème à 3 corps http://www.vulgum.org/article.php3?id_article=91

Dans le problème à 3 corps - 3 objets massifs en interaction gravitationnelle, le soleil, la terre et la lune, chacun des trois influe sur les deux autres (à des degrés divers bien sur) -, la Lune refusait de se plier aux calculs. Il y avait dans son comportement une part d’imprévisible.

Vouloir s’obstiner à résoudre les équations différentielles en les développant en série n’était pas la bonne méthode.
"On fait alors l’hypothèse que l’état du monde actuel ne dépend que du tout récent passé, sans être influencé par la mémoire du lointain passé".

Poincaré abandonne quelque peu la méthode cartésienne et déterministe qui veut que l’état d’un système au temps "t" dépende strictement de son état initial.

Poincaré invente une méthode géométrique utilisant plus que les trois dimensions habituelles.
Il y ajoute trois dimensions de vitesse (espace de phase), soit 6 dimensions par objets.
Pour le problème des trois corps (Soleil, Terre et Lune), il faut 18 dimensions.

Par cette méthode il montre que l’incertitude est cachée derrière la loi de la gravitation universelle.
En d'autres termes, Henri Poincaré a résolu le problème de l'intégration des trois corps en démontrant que cela n'était pas possible.

Il a proposé une méthode tout à fait originale et s'est trouvé confronté au chaos (au sens de la théorie mathématique dite "théorie du chaos").

Bien entendu, Henri Poincaré n'a pas eu la possibilité d’ériger l'indéterminisme ou, si on préfère, les limites du déterminisme mathématique en principe.

En 1910 tout cela n’était pas encore suffisamment étudié et compris.
Néanmoins dans les derniers mois de sa vie, il analysa la théorie des quanta et reconnut que la discontinuité des quanta était une nécessité, ainsi donc que les phénomènes probabilistes correspondants :

Donc, quelle que soit la loi du rayonnement, si l’on suppose que le rayonnement total est fini on sera conduit à une fonction w présentant des discontinuités analogues à celles que donne l’hypothèse des quanta» (Poincaré, 1954c).

(A suivre...)


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