Séminaire du C.A.P.M. du 2 février 2001.

Commentaire du texte de Nikolay Gertchev et Bertrand Lemennicier:

                  Economie et mathématiques :
                             un faux débat ?



Je voudrais inscrire mon propos sous le double chapeau de deux mathématiciens, l'un économiste à ces heures, Ivar Ekeland, et l'autre, physicien théoricien, Roland Omnès.

Que nous dit Ekeland :

"Pour ma part, je chéris l'aphorisme de Sussman .
En mathématiques, les noms sont arbitraires.
Libre à chacun d'appeler un opérateur auto-adjoint un 'éléphant', et une décomposition spectrale une 'trompe'.
On peut alors démontrer un théorème suivant lequel 'tout éléphant a une trompe'.
Mais on n'a pas le droit de laisser croire que ce résultat a quelque chose à voir avec de gros animaux gris" ( I. Ekeland, 1984)

dans Ekeland, I. (1984), Le calcul, l'imprévu (Les figures du temps de Kepler à Thom), Seuil, Paris, p.123.


Que nous dit Omnès :

"Ce qui compte en mathématiques ne sont aucunement les choses, mais les relations qui existent entre elles" (Omnès, 1994, p.107)
dans Omnès, R. (1994), Philosophie de la science contemporaine, Gallimard (coll. Folio, essais), Paris.


En résumé, si je les comprends bien, en mathématiques, ni les choses, ni le nom qu'on leur donne, et permettez-moi d'ajouter en tant qu'économiste, je le déduis littérairement de ce qu'ils écrivent, ni la valeur subjective qui sous-tend le nom que l'individu donne à la chose - pourquoi en effet donner un nom à une chose qu'on ne valorise pas -, bref, en mathématiques, rien de tout cela n'importe.

Or, en économie, qu'est-ce qui importe ?

Je répondrai : c'est justement tout cela.

Importent en effet et d'abord les choses ou objets que l'individu réussit à cerner avec ses sens, les choses ou objets qui retiennent son attention, les noms et les valeurs subjectives qu'il leur donne (soit dit en passant pour autant que ce n'est pas la valeur que l'individu donne à la chose qui l'amène d'abord à la prendre en considération).

En effet, en économie, les biens n'existent pas contrairement à ce que postulent dans leurs modèles la plupart des "mathématiciens qui se prennent pour des économistes" (... droit d'auteur à François Guillaumat).

Debreu excepté puisque selon Debreu, G. (1959), Theory of Value (An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium), Yale University Press (Cowles Foundation Monograph, n°17), NewHaven et Londres :

"The price ph of a commodity may be positive (scarce commodity), null (free commodity), or negative (noxious commodity).
In the last case an agent for whom that commodity is an output, i.e., who disposes of it, makes a payment to the agent for whom it is an input, i.e., receives from the latter a negative payment.

The fact that the price of a commodity is positive, null, or negative is not an intrinsic property of that commodity; it depends on the technology, the tastes, the resources, ...of the economy." (Debreu, p.33).


Existent d'abord des choses ou objets ("res" en latin) sensibles aux facultés des individus, auxquels ceux-ci donnent, séparément, chacun, une valeur ou non.
Si la chose reçoit de leur part une valeur - une "ophélimité élémentaire" aurait dit Pareto -, elle devient une chose de type "bien" - en abrégé un bien -, sinon, elle devient de type "mal" - un mal -.

Rappelons à ce propos Pareto :

"Les choses qui ont une ophélimité élémentaire appréciable pour le plus grand nombre d'hommes sont appelées […] des biens économiques". (Pareto, 1896, §31, p.12)


De plus, parmi ces choses ou objets, un type essentiel mérite attention : les risques de perte ou les risques de gain.
Et les risques de perte ou les risques de gain existent contrairement à ce que postulent, le plus souvent, les mathématiciens économistes qui, soi disant pour simplifier, se situent dans un contexte de certitude, voire sans durée.
Tout individu qui agit ne peut que se former différentes espérances morales de perte ou de gain, se donner de telles espérances morales, devenir "riche" de telles espérances morales.

De plus, le cas échéant, il va vendre contre monnaie ces espérances morales à qui lui propose de les acheter.
L'assureur achète des espérances morales de perte le jour du contrat d'assurance, le conseil d'administration d'une société par action décide de vendre des espérances morales de gain le jour où il choisit d'augmenter le capital de la société par émission d'actions.

Et il faut s'attendre à ce que d'autres organisations voient le jour et achètent ou vendent toute sorte d'autres risques comme s'y attend Arrow :

"As part, then, of the general use of market for exchanging goods, we expect to find markets in which risks are traded" (K. J. Arrow , 1978, p.5)


En raison de ce profond fossé, de cette opposition radicale entre économie et mathématique(s), aucune relation ne peut exister entre ces deux disciplines.
A supposer que certaines personnes tentent de jeter un pont sur ce fossé et cherchent ainsi à les mettre en relation, leur démarche ne peut que susciter un débat portant sur les artifices utilisés pour y parvenir.


Ce n'est pas de ce point de vue que se placent N. Gertchev et B. Lemennicier pour évoquer le débat entre mathématiques et économie.


De quel point de vue se situent-ils ?

Du point de vue de la mathématisation de l'économie, un point de vue qui, selon eux, accorderait l'"ensemble des économistes".

Que faut-il entendre par là ?
Je les lis (pp. 4-7)

"le débat sur la mathématisation de l'économie soulève trois questions fondamentales sur lesquelles semble-t-il l'ensemble des économistes sont d'accord.

1) Une question méthodologique; l'outil mathématique adapté aux sciences de la nature serait inapproprié aux sciences de la société. […]

2) Une question technique; les mathématiques sont souvent prônées parce qu'elles permettraient de simplifier, de généraliser et de rendre plus rigoureuse la pensée économique.
Mais les limites et les défauts de la mathématisation pourraient être plus grands que les qualités attendues. […]

3) Enfin une question rhétorique.
Il existe, de fait, dans la démocratie majoritaire contemporaine, une dimension politique à la science, et donc aussi à la science économique, parce qu'elle est utilisée par certains comme caution pour justifier les interférences de l'Etat dans la vie privée des individus.
La "science économique " et "celle mathématisée", encore plus, joue alors un rôle fondamental dans la rhétorique de l'intimidation pour persuader des bienfaits de l'intervention étatique (ou de sa non intervention)."

Tout cela est pour le moins discutable…
Mais peu importe car nos auteurs concluent le passage ainsi :

"Dans ce qui suit nous allons nous centrer uniquement sur la question technique en délaissant les dimensions méthodologique et politique ou rhétorique de l'analyse économique." (p.7)

En d'autres termes, ils vont s'intéresser,
d'une part, à la simplification et à la généralisation qu'ils supposent que permettent d'atteindre les mathématiques et,
d'autre part, à la conséquence qu'ils supposent résulter de l'application de ces méthodes sur la pensée économique, à savoir améliorer sa rigueur.

Supposer que simplification et généralisation sont des résultats mathématiques me semble pour le moins discutable. Je vais y revenir.


Un dernier mot auparavant sur ce qu'ils écrivent encore.

Quelques lignes plus bas (p.9), ils préviennent que :

"Dans la première partie de l’article nous discuterons des défauts de l'analyse mathématique et de la supériorité de l'esprit de finesse sur celui de géométrie dans notre discipline.
A partir d'exemples tirés de l'enseignement élémentaire de macroéconomie et de microéconomie nous montrerons l'importance du raisonnement économique fondé sur une combinaison optimale entre l’analyse graphique, l’analyse algébrique et le raisonnement purement littéraire. "

Cela est un peu contradictoire.
Ils l'intituleront ainsi : Esprit de finesse et de géométrie : pour une combinaison optimale entre l’analyse graphique, l’analyse algébrique et le raisonnement purement littéraire

Et ils ajoutent :

"La deuxième partie de cette étude montrera, sous forme certes influencée par l’usage des mathématiques dans notre discipline, pourquoi pourtant ce sont les mathématiques dures qui l’ont emporté dans la recherche et l’enseignement en économie compte tenu du cadre institutionnel dans lequel s'exerce notre profession.

La modification de ce cadre institutionnel permettrait d'effacer cet envahissement des mathématiques dans l’économie."

Et ils l'intituleront: La formalisation est-elle excessive ou bien est-elle optimale ?

Autant la partie 1 me semble découler de leurs présupposés, autant la partie 2 me semble un peu en rupture.

Je laisserai donc de côté le commentaire de cette dernière étant donné de plus le peu de temps d'exposé dont je dispose (dix minutes qui sont déjà écoulées)..


Que penser de la partie 1.

En résumé, pour nos auteurs, si je rapproche les différentes formulations qu'ils adoptent, simplification et généralisation résultent de la combinaison entre l’analyse graphique, l’analyse algébrique et le raisonnement purement littéraire.
Mieux, la conséquence de cette combinaison, si elle est optimale, est la rigueur de la pensée économique.

Je ne vous cacherai pas que je suis perdu.
Je ne comprends pas comment on peut faire résulter la simplification ou la généralisation d'une combinaison entre l’analyse graphique, l’analyse algébrique et le raisonnement purement littéraire.

Si j'ai une idée de ce qu'est la simplification ou de la généralisation, je n'en ai guère de la combinaison qui peut résulter d'abord de l'analyse graphique ou de l'analyse algébrique, ne serait-ce que parce que je ne sais pas ce qu'est une analyse graphique.

J'en ai une en revanche de la correspondance rigoureuse entre géométrie et équations, liaisons, ou fonctions algébriques.

Je connais, en effet, la géométrie, la géométrie analytique, la géométrie descriptive, la géométrie projective ;
les théorèmes de géométrie me permettent de faire des déplacements de figures géométriques, des transformations (homothétie, inversion, translation, symétrie, etc.) ;
je sais mettre en liaison ou en équations des hypothèses algébriques, résoudre le cas échéant l'équation ou le système d'équations résultant.

Enfin, des théorèmes me permettent de faire se correspondre rigoureusement et dans le meilleur des cas, géométrie et équations ou fonctions algébriques.

Si je préfère ou suis plus à l'aise en géométrie qu'en algèbre, je pourrais corriger les éventuelles erreurs que je commets en algèbre en passant à la géométrie (exemple évoqué bas de la p. 19) ;
et inversement : nos auteurs semblent préférer la géométrie à l'algèbre.

Il n'en reste pas moins qu'a priori, les relations algébriques des pages 18 et 19 sont aussi peu éclairantes que la figure géométrique de la page 20 quand on ne connaît pas les données mathématiques, lesquelles ne sont elles-mêmes que des représentations mathématiques possibles de maintes hypothèses économiques au nombre desquelles il y a celles dont on part.
Pour ne pas parler de la figure pernicieuse de la page 22, aussi pernicieuse que la phrase de Jacquard que nos auteurs dénoncent à juste raison (pp.21-25).


Cela étant, je ne vois pas en quoi peut bien consister la combinaison optimale de la correspondance précédente entre la géométrie et l'algèbre avec le raisonnement purement littéraire.

Il n'existe pas de "vérité" - je ne vois pas d'autre terme à employer - permettant cette combinaison.
Tout est question de représentations mathématiques des éléments économiques, d'une part, et d'interprétations économiques des solutions ou figures mathématiques, d'autre part.

En effet, avant de procéder à la "combinaison de l'analyse graphique ou de l'analyse algébrique", on doit représenter géométriquement ou algébriquement des choses économiques par des variables ou des paramètres, on doit représenter des relations économiques par des fonctions numériques, des liaisons ou des équations : on obtient ainsi le modèle mathématique structurel des notions économiques (c'est l'étape de la formalisation).


Mais quelles sont les règles de la représentation mathématique ?
Sont-elles rigoureuses ou scientifiques ?
On le fait croire.

C'est ainsi que certains vont se placer, pour simplifier diront-ils, dans un monde ou on fait abstraction de la durée, de l'ignorance, voire du droit : sacrée réalité économique !

Si on choisit la représentation géométrique, on peut faire bouger les éléments géométriques.

Mais de deux choses l'une, on applique des théorèmes de géométrie ou on n'en applique pas.

Le plus souvent, on fait bouger sans appliquer, sans se préoccuper des théorèmes (serait-ce l'"analyse graphique" ?) : quelle rigueur ! ?

Et on va interpréter économiquement la figure après mouvement. Selon quelles règles ? J'y viens dans un instant.

Si on choisit la représentation algébrique, après trituration mathématique, je veux dire après résolution du modèle algébrique, on obtient une solution algébrique (en général, on s'est efforcé de faire des hypothèses mathématiques pour qu'il y en ait une et une seule).
De fait, la solution n'est rien d'autre que le modèle mathématique réduit.

Et on interprète économiquement les solutions qu'on a obtenues, les "résultats de la trituration".
Selon quelles règles ?
 J'y viens dans un instant.

Le cas échéant, "par la petite porte" (c'est-à-dire sans se préoccuper des hypothèses économiques), on introduit aussi une variation d'un paramètre et on calcule la modification de la solution en conséquence (là encore, on s'est efforcé de faire des hypothèses pour qu'il y ait une solution).

Et on interprète économiquement les nouvelles solution obtenues !
Et on les compare à l'ancienne, avant variation (quelles sont d'ailleurs les règles de la comparaison ?).

Mais quelles sont les règles de l'interprétation économique des figures géométriques ou des solutions algébriques ?
Sont-elles rigoureuses ou scientifiques ?
Difficile à dire encore : disons ni plus ni moins que les règles de représentation mathématique des notions économiques.


Dans ces conditions, une chose me paraît certaine : les règles de représentation mathématique des éléments économiques et les règles de l'interprétation économique des solutions ou figures mathématiques n'ont rien à voir avec les règles mathématiques (cf. en particulier, les citations en introduction).

Je caractériserai ces règles en parlant de "règles de bon sens" étant entendu que le "bon sens" est très élastique et parfois difficile à partager.

Et je considère que ce sont ces règles qui constituent le pont entre l'économie et les mathématiques auquel j'ai fait allusion en introduction.
De fait, le pont est très élastique et on ne saurait l'emprunter.
Il ne saurait être comparé au moindre "pont de singes".


En conséquence, il me semble vide de sens de parler d'une combinaison - optimale - entre l’analyse graphique, l’analyse algébrique et le raisonnement purement littéraire pour étayer un raisonnement économique sauf à admettre que des étais puissent être des élastiques.

Un dernier mot, rapide à propos du souci de simplification. Permettez-moi de faire référence à Eddington, un physicien astronome de l'Université de Cambridge.

En 1929, il écrivait :

"L'espace et le temps sont-ils infinis ?
Je pense qu'il n'y a personne qui n'ait jamais appliqué son esprit aux questions suivantes :
- l'espace a-t-il une fin ?
- s'il en a une, qu'y a-t-il au-delà de cette limite ?

D'autre part, nous ne pouvons pas concevoir un espace sans fin, en sorte que notre imagination se trouve enserrée dans un dilemme.

Avant la relativité, on admettait que l'espace était infini.

Mais nul ne peut concevoir un espace infini : il fallait donc nous contenter d'admettre dans le monde physique une conception inconcevable, troublante, qui d'ailleurs n'était pas nécessairement sans logique.

La théorie d'Einstein nous offre un moyen de sortir de ce dilemme.
A la question :
"l'espace est-il infini ou a-t-il une fin ?",
elle répond :
ni l'un ni l'autre ; l'espace est fini, mais il n'a pas de fin : "fini, mais sans limite", telle est l'expression employée.

Personne ne peut concevoir l'espace infini ; tandis que l'espace fini mais sans limite, c'est difficile mais non impossible à concevoir.
Je ne m'attends pas à ce que vous le compreniez, mais vous allez essayer.

Pensez d'abord à un cercle, ou plutôt à la ligne qui le limite, la circonférence : c'est une ligne finie, mais sans fin.

Pensez ensuite à une sphère, à la surface d'une sphère : voilà encore un espace qui est fini mais sans limite.

La surface de cette terre n'a pas de limite : si vous la parcourez, vous trouvez toujours un pays après celui que vous avez atteint, et cependant il n'y a pas sur la terre de la place en quantité infinie.

Prenons maintenant une dimension de plus : cercle, sphère … et ensuite ?
A quoi arrivez-vous ?
Voilà la difficulté.

Prenez une place fermée de la croûte de cette hypersphère et imaginez qu'il n'y a rien du tout à l'intérieur, que la croûte existe sans intérieur : voilà un espace fini mais sans limite.

Non ! Je ne pense pas que vous ayez tout à fait saisi : vous avez fléchi juste à la fin.
Et remarquez bien que ce n'est pas l'addition d'une dimension de plus qui a crée la difficulté : c'est la suppression à la fin, d'une dimension.

Je vais vous dire ce qui vous arrête.
Vous avez dans l'esprit une conception de l'espace qui doit dater de plusieurs millions d'années et qui s'est incrustée solidement dans le cerveau humain.

Mais cette idée créée par l'intellect naissant d'un singe entreprenant, ne doit pas dominer la conception de l'espace du monde physique.

L'espace, c'est ce qui découlera de l'expérience.
Or l'expérience nous fait découvrir des caractéristiques de l'espace qui sont des longueurs et des distances :
par conséquent l'espace est quelque chose comme un réseau de distances.[…]

Quand nous avons abordé la conception de l'espace sphérique, la difficulté a été de supprimer l'intérieur de l'hypersphère en laissant subsister sa surface à trois dimensions." (Eddington, A.S., (1929), La nature du monde physique, Payot, Paris, pp.94-95)


Pourquoi cette longue citation ?

Pour simplement la résumer en disant qu'en économie, la difficulté n'est pas de faire ou de comprendre un raisonnement littéraire en se situant dans le monde d'ignorance radicale et de durée des économistes de l'Ecole de pensée autrichienne ou de Bastiat, tout le monde est capable de le faire ou de le comprendre car c'est le monde dans lequel chacun d'entre nous vit et agit quotidiennement.

La racine de la difficulté tient justement dans la prétendue simplification initiée par les "mathématiciens qui se prennent pour les économistes", qui consiste à envisager un monde économique sans temps, sans risque, voire sans droit !
Et la difficulté réelle est de vouloir faire ou comprendre un prétendu raisonnement articulé à un monde de certitude ou bien sans durée, voire sans droit, bref au monde où les hommes de l'Etat et de la Sécurité sociale rèvent de faire vivre les prétendus citoyens et tentent de les forcer à y vivre avec ce qu'ils dénomment la "répartition obligatoire".




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